По направлению скорости. Определение ускорений точек плоской фигуры при помощи мцу Определение ускорения произвольной точки плоской фигуры

Лекция 3. Плоскопараллельное движение твердого тела. Определение скоростей и ускорений.

В данной лекции рассматриваются следующие вопросы:

1. Плоскопараллельное движение твердого тела.

2. Уравнения плоскопараллельного движения.

3. Разложение движения на поступательное и вращательное.

4. Определение скоростей точек плоской фигуры.

5. Теорема о проекциях скоростей двух точек тела.

6. Определение скоростей точек плоской фигуры с помощью мгновенного центра скоростей.

7. Решение задач на определение скорости.

8. План скоростей.

9. Определение ускорений точек плоской фигуры.

10. Решение задач на ускорения.

11. Мгновенный центр ускорений.

Изучение данных вопросов необходимо в дальнейшем для динамики плоского движения твердого тела, динамики относительного движения материальной точки, для решения задач в дисциплинах «Теория машин и механизмов» и «Детали машин».

Плоскопараллельное движение твердого тела. Уравнения плоскопараллельного движения.

Разложение движения на поступательное и вращательное

Плоскопараллельным (или плоским) называется такое движение твердого тела, при, котором все его точки перемещаются параллельно некоторой фиксированной плоскости П (рис. 28). Плоское движение совершают многие части механизмов и машин, например катящееся колесо на прямолинейном участке пути, шатун в кривошипно-ползунном механизме и др. Частным случаем плоскопараллельного движения является вращательное движение твердого тела вокруг неподвижной оси.

Рис.28 Рис.29

Рассмотрим сечение S тела какой-нибудь плоскости Оxy , параллельной плоскости П (рис.29). При плоскопараллельном движении все точки тела, лежащие на прямой ММ ’, перпендикулярной течению S , т. е. плоскости П , движутся тождественно.

Отсюда заключаем, что для изучения движения всего тела достаточно изучить, как движется в плоскости Оху сечение S этого тела или некоторая плоская фигура S . Поэтому в дальнейшем вместо плоского движения тела будем рассматривать движение плоской фигуры S в ее плоскости, т.е. в плоскости Оху .

Положение фигуры S в плоскости Оху определяется положением какого-нибудь проведенного на этой фигуре отрезка АВ (рис. 28). В свою очередь положение отрезка АВ можно определить, зная координаты x A и y A точки А и угол , который отрезок АВ образует с осью х . Точку А , выбранную для определения положения фигуры S , будем в дальнейшем называть полюсом.

При движении фигуры величины x A и y A и будут изменяться. Чтобы знать закон движения, т. е. положение фигуры в плоскости Оху в любой момент времени, надо знать зависимости

Уравнения, определяющие закон происходящего движения, называются уравнениями движения плоской фигуры в ее плоскости. Они же являются уравнениями плоскопараллельного движения твердого тела.

Первые два из уравнений движения определяют то движение, которое фигура совершала бы при =const; это, очевидно, будет поступательное движение, при котором все точки фигуры движутся так же, как полюс А . Третье уравнение определяет движение, которое фигура совершала бы при и , т.е. когда полюс А неподвижен; это будет вращение фигуры вокруг полюса А . Отсюда можно заключить, что в общем случае движение плоской фигуры в ее плоскости может рассматриваться как слагающееся из поступательного движения, при котором все точки фигуры движутся так же, как полюс А , и из вращательного движения вокруг этого полюса.

Основными кинематическими характеристиками рассматриваемого движения являются скорость и ускорение поступательного движения, равные скорости и ускорению полюса , а также угловая скорость и угловое ускорение вращательного движения вокруг полюса.

Определение скоростей точек плоской фигуры

Было отмечено, что движение плоской фигуры можно рассматривать как слагающееся из поступательного движения, при котором все точки фигуры движутся со скоростью полюса А , и из вращательного движения вокруг этого полюса. Покажем, что скорость любой точки М фигуры складывается геометрически из скоростей, которые точка получает в каждом из этих движений.

В самом деле, положение любой точки М фигуры определяется по отношению к осям Оху радиусом-вектором (рис.30), где - радиус-вектор полюса А , - вектор, определяющий положение точки М относительно осей , перемещающихся вместе с полюсом А поступательно (движение фигуры по отношению к этим осям представляет собой вращение вокруг полюса А ). Тогда

Ускорение произвольной точки твёрдого тела, участвующего в плоском движении, можно найти как геометрическую сумму ускорения полюса и ускорения данной точки во вращательном движении вокруг полюса.

Для доказательства этого положения используем теорему сложения ускорений течки в составном движении. Примем за полюс точку . Подвижную систему координат будем перемещать поступательно вместе с полюсом (рис.1.15 а). Тогда относительным движением будет вращение вокруг полюса. Известно, что кориолисово ускорение в случае переносного поступательного движения равно нулю, поэтому

Т.к. в поступательном движении ускорения всех точек одинаковы и равны ускорению полюса, имеем .

Ускорение точки при движении по окружности удобно представить в виде суммы центростремительной и вращательной составляющих:

Следовательно

Направления составляющих ускорения показаны на рис.1.15 а.

Нормальная (центростремительная) составляющая относительного ускорения определяется формулой

Величина его равна Вектор направлен вдоль отрезка АВ к полюсу А (центром вращения вокруг является ).

Рис. 1. 15. Теорема о сложении ускорений (а) ее следствия (б)

Касательная (вращательная) составляющая относительного ускорения определяется формулой

Модуль этого ускорения находится через угловое ускорение . Вектор направлен перпендикулярно к АВ в сторону углового ускорения (в сторону угловой скорости, если движение ускоренное и в противоположную сторону вращения, если движение замедленное).

Величина полного относительного ускорения определяется по теореме Пифагора:

Вектор относительного ускорения любой точки плоской фигуры отклонён от прямой, соединяющей рассматриваемую точку с полюсом на угол , определяемый формулой

На рис.1.15 б показано, что этот угол одинаков для всех точек тела.

Следствие из теоремы об ускорениях.

Концы векторов ускорений точек прямолинейного отрезка на плоской фигуре лежат на одной прямой и делят её на части, пропорциональные расстояниям между точками.

Доказательство этого утверждения следует из рисунка:

Методы определения ускорений точек тела при плоском его движении идентичны соответствующим методам определения скоростей.

Мгновенный центр ускорений

В любой момент времени в плоскости движущейся фигуры существует одна единственная точка, ускорение которой равно нулю. Эта точка называется мгновенным центром ускорений (МЦУ).

Доказательство следует из способа определения положения этой точки. Примем за полюс точку А, предполагая известным её ускорение. Раскладываем движение плоской фигуры на поступательное и вращательное. Пользуясь теоремой сложения ускорений, записываем ускорение искомой точки и приравниваем его нулю.

Отсюда следует, что , т. е. относительное ускорение точки Q равно ускорению полюса А по величине и направлено в противоположную сторону. Это возможно только в том случае, если углы наклона относительного ускорения и ускорения полюса А к прямой, соединяющей точку Q, с полюсом А одинаковы.

, , .

Примеры нахождения МЦУ.

Рассмотрим способы нахождения положения МЦУ.

Пример №1: известны , , (рис.1.16 а).

Определяем угол . Откладываем угол в направлении углового ускорения (т. е. в сторону вращения при ускоренном вращении и против - при замедленном), от направления известного ускорения точки и строим луч. На построенном луче откладываем отрезок длиной AQ.

Рис. 1. 16. Примеры нахождения МЦУ: пример №1 (а), пример№2 (б)

Пример № 2. Известны ускорения двух точек А и В: и (рис.1.16 б).

Одну из точек с известным ускорением принимаем за полюс и определяем относительное ускорение другой точки путём геометрических построений. Измерением находим угол и под этим углом проводим лучи от известных ускорений. Точка пересечения этих лучей является МЦУ. Угол откладывается от векторов ускорений в ту же сторону, в какую идёт угол от вектора относительного ускорения к прямой ВА.

Следует отметить, что МЦУ и МЦС разные точки тела, причём ускорение МЦС не равно нулю и скорость МЦУ не равна нулю (рис 1.17).

Рис. 1. 17. Положение МЦС и МЦУ в случае качения катка без скольжения

В тех случаях, когда ускорения точек параллельны друг другу возможны следующие частныйслучаи нахождения МЦУ (рис.1.17)

Рис. 1. 18. Частные случаи нахождения МЦУ:
а) ускорения двух точек параллельны и равны; б) ускорения двух точек антипараллельны; в) ускорения двух точек параллельны, но не равны

СТАТИКА

ВВЕДЕНИЕ В СТАТИКУ

Основные понятия статики, область их применения

Статика - раздел механики, изучающий условия равновесия материальных тел и включающий в себя учение о силах.

Говоря о равновесии, надо помнить, что “всякий покой, всякое равновесие относительны, они имеют смысл только по отношению к той или иной определенной форме движения”. Например, тела, покоящиеся на Земле, движутся вместе с ней вокруг Солнца. Более точно и правильно следует говорить об относительном равновесии. Условия равновесия различны для твердых, жидких и газообразных, деформируемых тел.

Большинство инженерных сооружений можно считать малодеформируемыми или жесткими. Абстрагированием можно ввести понятие абсолютно твердого тела: расстояния, между точками которого не изменяются с течением времени.

В статике абсолютно твердого тела решатся две задачи:

· сложение сил и приведение системы сил к простейшему виду;

· определение условий равновесия.

Силы имеют различную физическую природу, часто неясную до конца и в настоящее время. Вслед за Ньютоном, будем понимать силу как количественную модель, меру взаимодействия материальных тел.

Модель силы по Ньютону определяется тремя главными характеристиками: величиной, направлением действия и точкой ее приложения. Опытным путем установлено, что введенная таким путем величина имеет векторные свойства. Более подробно они рассматриваются в аксиомах статики. В международной системе единиц СИ, используемой в соответствии с ГОСТом, единицей измерения силы является ньютон (Н). Изображение и обозначение сил показано на рис.2.1 а

Совокупность сил, действующих на какое-либо тело (или систему тел) называется системой сил.

Тело, не скрепленное с другими телами, которому можно сообщить движение в любом направлении, называется свободным.

Система сил, полностью заменяющая другую систему сил, действующую на свободное тело, не изменяя при этом состояния движения или покоя, называется эквивалентной.

Рис. 2. 1. Основные понятия о силах

Система сил, под действием которой тело может находиться в состоянии покоя, называется эквивалентной нулю или уравновешенной.

Одна сила, эквивалентная системе сил, называется ее равнодействующей. Равнодействующая существует не всегда, например, в случае изображенном на рисунке ее не существует.

Одна сила, равная по величине равнодействующей, но противоположно ей направленная, называется уравновешивающей для исходной системы сил (рис.2.1 б).

Силы, действующие между частицами одного тела, называются внутренними, а действующие со стороны других тел - внешними.

Аксиомы статики

Рассматривая плоское движение плоской фигуры как сумму поступательного движения, при котором все точки фигуры движутся с ускорением a A полюса A , и вращательного

движения вокруг этого полюса, получаем формулу для определения ускорения какой-либо точки B плоской фигуры в виде

a B =	a A +	a BA =	a A + a BAв +	a BAц .
Здесь a			ускорение	полюса A ; a	Ускорение

вращательного движения точки B вокруг полюса A , которое как в случае вращения тела вокруг неподвижной оси векторно

складывается из вращательного ускорения a BA в и центро-

стремительного ускорения a BA ц . Модули этих ускорений определяются по формулам

модуль углового ускорения. Вращательное ускорение a BA в направлено перпендикулярно отрезку AB в сторону дуговой стрелки ε , а центростремительное ускорение a BA ц направлено по линии AB от точки B к полюсу A (рис. 12). Модуль полного ускорения a BA точки B относительно полюса A в силу условия a BA в a BA ц вычисляется по формуле

Рис 12. Определение ускорения точки B

с использованием полюса A.

Для нахождения ускорения a B по формуле (2.18)

рекомендуется использовать аналитический способ . В этом способе вводится прямоугольная декартова система координат (система Bxy на рис. 12) и вычисляются проекции a Bx , a By

искомого ускорения как алгебраические суммы проекций ускорений, входящих в правую часть равенства (2.18):

(a в

(a ц

a cosα

ц ;

(a в

(a ц

sinα

где α - угол между вектором a A

и осью Bx . По найденным

Изложенный способ определения ускорений точек плоской фигуры применим для решения задач, в которых задано движение полюса A и угол поворота фигуры

уравнениями (2.14). Если зависимость угла поворота от времени неизвестна, то для заданного положения фигуры приходится определять мгновенную угловую скорость и мгновенное угловое ускорение. Способы их определения рассматриваются далее в примерах выполнения задания 2.

Отметим также, что при определении ускорений точек плоской фигуры может использоваться мгновенный центр ускорений – точка, ускорение которой в данный момент времени равно нулю. Однако применение мгновенного центра ускорений связано с довольно трудоемкими методами нахождения его положения, поэтому определение ускорений точек плоской фигуры рекомендуется выполнять по формуле

2.4 Задание 2. Определение скоростей и ускорений точек плоского механизма

Механизмы (см. с. 5) называются плоскими , если все его точки движутся в одной или в параллельных друг другу плоскостях, иначе механизмы называются пространствен-

ными.

В задании 2.1 рассматриваются планетарные механизмы ,

в задании 2.2 – кривошипно-позунные механизмы, а в задании

2.3 помимо названных двух типов изучается движение механизмов других типов. Большинство рассматриваемых механизмов являются механизмами с одной степенью свободы ,

в которых для определения движения всех звеньев нужно задать закон движения одного звена.

Задание 2.1

В планетарном механизме (рис. 13) кривошип 1 длиной OA = 0.8 (м ) вращается вокруг неподвижной оси O , перпендикулярной плоскости рисунка, по закону

ϕ OA (t ) = 6t − 2t 2 (рад). В точке A кривошип шарнирно соединен

с центром диска 2 радиуса r = 0.5 (м), находящегося во внутреннем зацеплении с неподвижным колесом 3, соосным с

кривошипом OA . На диске 2 в момент времени t 1 = 1 (с) задана точка B , положение которой определяется расстоянием AB = 0.5 (м) и углом α = 135° . (В заданный момент времени угол α отсчитывается от оси Ax в направлении против хода часовой стрелки при α > 0 или в противоположном направлении при

α < 0).

Рис 13. Планетарный механизм и способ задания положения точки B.

Определить в момент времени t 1

1) скорость точки B двумя способами: с использованием мгновенного центра скоростей (МЦС) диска 2 и с использованием полюса A ;

2) ускорение точки B с использованием полюса A .

1) Определение скорости точки B .

Вначале требуется выполнить графическое изображение

механизма в выбранном масштабе (например, в 1 см рисунка – 0.1 м отрезка OA и радиуса r ) и показать заданное положение точки B (рис. 14).

Рис 14. Определение скорости точки B с использованием мгновенного центра скоростей Р и полюса А.

По заданному закону вращения кривошипа ОА найдем скорость центра А диска 2. Определяем угловую скорость кривошипа в заданный момент времени t 1 = 1 (c ):

ω OA = ϕ ! OA = (6 t −				6 − 4 t ;	ω OA (t 1 ) = 2 (рад / с ).

Полученная величина ω OA (t 1 ) является положительной, поэтому дуговую стрелку ω OA направляем против хода часовой стрелки, то есть в положительном направлении отсчета угла ϕ .

Вычисляем модуль скорости

v A = ω OA (t 1 ) OA = 2 0.8 = 1.6 (м/с )

и строим вектор скорости v A перпендикулярно ОА в сторону дуговой стрелки ω OA .

дуговая стрелка ω OA и вектор v A изображаются в противоположном направлении, а для расчета v A используется модуль

ω OA (t 1 ) .

Мгновенный центр скоростей (точка Р ) диска 2 расположен в точке его соприкостновения с колесом 3 (см. п. 5 на с. 34). Определим мгновенную угловую скорость ω диска по найденной величине скорости v A :

ω = v A / AP = v A / r = 1.6 / 0.5 = 3.2 (рад / c )

и изображаем на рисунке ее дуговую стрелку (рис. 14).

Для определения скорости точки В с использованием МЦС находим расстояние ВР по теореме косинусов из треугольника АВР :

BP = AB2 + AP2 − 2 AB AP cos135 " =

0.5 2 + 0.52 − 2 0.52 (− 2 / 2) ≈ 0.924 (м ).

Скорость v B равна по модулю

v B = ω PB = 3.2 0.924 ≈ 2.956 (м / c )

и направлена перпендикулярно отрезку РВ в сторону дуговой стрелки ω .

Тот же вектор v B может быть найден с использованием полюса А по формуле (2.15): v B = v A + v BA . Перенесем вектор v A в точку В и построим вектор v BA , перпендикулярный отрезку АВ и направленный в сторону дуговой стрелки ω . Модуль

что угол между векторами v A и v BA равен 45° . Тогда по формуле (2.16) находим

vB = vA 2 + vBA 2 + 2 vA vBA cos 45 " =

1.6 2 + 1.62 + 2 1.62 ( 2 / 2) ≈ 2.956 (м / c ).

На рисунке вектор v B должен совпадать с диагональю параллелограмма, сторонами которого являются векторы v A и v BA . Это достигается построением векторов v A , v B и v BA в выбран-

ном масштабе (например, 1 см на рисунке соответствует 0.5 м/с ). Отметим, что приведенные в рассмотренном примере масштабы можно изменять и назначать самостоятельно.

2). Определение ускорения точки В .

Ускорение точки В определим по формуле (2.18) с использованием полюса А , ускорение которого складывается векторно из касательного и нормального ускорений:

a B = a A + a BA в + a BA ц = a τ A + a A n + a BA в + a BA ц .

По заданному закону вращения кривошипа ОА найдем его угловое ускорение:

ε OA = ω ! OA = (6 − 4t ! ) = − 4 (рад / с 2 ).

Полученная величина ε OA является отрицательной, поэтому дуговую стрелку ε OA направляем по ходу часовой стрелки, то

есть в отрицательном направлении, а в дальнейшем расчете будем брать эту величину по модулю.

Модули касательного и нормального ускорений полюса А в заданный момент времени t 1 находим по формулам (2.11):

a τ A = ε OA OA = 4 0.8 = 3.2 (м / c 2 ); a n A = ω OA 2 OA = 22 0.8 = 3.2 (м / c 2 ).

Касательное ускорение a τ A направлено перпендикулярно кривошипу ОА в сторону дуговой стрелки ε OA , а нормальное ускорение a A n - от тоски А к точке О при любом направлении угловой скорости кривошипа (рис. 15). Полное ускорение a A определять не требуется.

Рис 15. Определение ускорения точки B с использованием полюса А.

ω = v A / r = ω OA (OA / r ) .
	по определению угловое	ускорение	диска (при
OA/r = const) равно
ε = ω ! =	ω ! OA (OA / r ) = ε OA (OA / r ) = −	4 (0.8 / 0.5) =	− 6.4 (рад / c 2 ).

угловую стрелку ε направляем в противоположном направлении к дуговой стрелки ω .

Вычислим модули вращательного и центростремительного ускорений точки В относительно полюса А по формулам


a BAв	AB =	6.4 0.5 = 3.2 (м / c 2 );
a BAв	AB =	6.4 0.5 = 3.2 (м / c 2 );
a BAц	2 AB =	3.22 0.5 = 5.12 (м / c 2 ).

Вектор a BA в направлен перпендикулярно отрезку АВ в сторону

дуговой стрелки ε , а вектор a BA ц - от точки В к полюсу А

Ускорение точки В найдем по его проекциям на оси координатной системы Axy :


a Bx = (a τ A ) x +					(a An ) x + (a BAв ) x + (a BAц ) x =
	0 − a n A −			a BA в cos 45" +			a BAц	cos 45" =
		3.2 −				/ 2 + 5.12		2 / 2 ≈	− 1.84 (м / c 2 );
a By = (a τ A ) y +					(a An ) y + (a BAв ) y + (a BAц ) y =
		a τ A +	0 −		a BAв	cos45"	− a BA ц cos 45" =
		3.2 −				/ 2 − 5.12		2 / 2 ≈	− 9.08 (м / c 2 ).
Модуль a B =		a Bx2			a By2	≈ 9.27 (м / c 2 ).
					ускорения		a τ A ,	a A n ,	a BA в , a BA ц требуется

изобразить в выбранном масштабе и построить в этом же масштабе вектор a B по найденным проекциям (рис. 15).

Исходные данные для самостоятельного выполнения задания 2.1 приведены в таблице на с. 44.

	Кинематика твердого тела


ϕ OA (t), рад		α , град	t 1 , c
t2 + 3t
8t – 3t2
t2 - 4t
3t – 2t2
2t2 - t
4t – t2
2t2 - 6t
2t – 3t2
3t2 - 4t
8t – 2t2
4t2 - 6t
3t – 4t2
4t2 - 2t
6t – t2
2t2 - 4t
4t – 3t2
2t2 + t
4t – 2t2
3t2 - 10t
t – 2t2
3t2 + 2t
6t – 3t2
3t2 - 8t
2t – 4t2

Согласно рассмотренному ранее, движение плоской фигуры складывается из поступательного и вращательного движений. Покажем, что ускорение любой точки плоской фигуры складывается геометрически из ускорений, которые точка получает в каждом из этих движений.

Положение точки В (согласно рис. 35) можно определить по формуле:

где радиус-вектор полюса А, вектор, определяющий положение точки В относительно полюса А.

Согласно теореме о скоростях точек плоской фигуры:

Очевидно, что ускорение точки В будет равно:

где ускорение полюса А. Т.к. и исходя из свойств плоской фигуры, можно утверждать, что ускорение точки В в ее вращательном движении вокруг полюса А.

Ускорение любой точки плоской фигуры геометрически складывается из ускорения какой-нибудь другой точки, принятой за полюс, и ускорения этой точки в ее врщении вместе с фигурой вокруг полюса:

Следовательно, ускорение некоторой точки В плоской фигуры изображается диагональю векторного параллелограмма (построенного при точке В), в котором его сторонами являются и (рис. 40).

Рис. 40. Построение вектора ускорения точки В

При решении задач вектор раскладывают на составляющие:

где касательная составляющая ускорения (и направлен в сторону вращения на рис. 41, 42);

нормальная составляющая ускорения (всегда направлен из точки В к полюсу А).

Модуль полного ускорения определяют по формуле:

Рис. 41. К доказательству теоремы об ускорениях точек плоской фигуры (случай ускоренного вращения)Рис. 42. К доказательству теоремы об ускорениях точек плоской фигуры (случай замедленного вращения)

При графическом определении ускорения точки В удобно пользоваться углом, тангенс которого находят из выражения:

Если известны траектории полюса A и точки B, ускорение которой надо найти, то ускорения этих точек для удобства вычисления раскладывают на нормальные и касательные составляющие. Тогда теорема об ускорениях точек плоской фигуры примет развернутый вид:

Таким образом, для определения ускорения произвольной точки В необходимо знать ускорение какой-либо точки плоской фигуры А, принимаемой за полюс, угловую скорость  плоской фигуры и ее угловое ускорение  в данный момент времени.

Модуль ускорения точки В (или любой другой точки плоской фигуры) можно найти следующими способами:

графически;
аналитически (способом проекций): ,

где аВх, аВу проекции ускорения точки В на заранее выбранные оси х и у прямоугольной системы координат.

Учебное пособие для студентов технических вузов

У нас самая большая информационная база в рунете, поэтому Вы всегда можете найти походите запросы

Рабочая программа. Наименование учебного предмета: Математика 1 класс

Количество часов по учебному плану всего: 132 часа в год; в неделю 4 часа. Рабочая программа составлена в соответствии с требованиями Федерального государственного образовательного стандарта НОО Программа разработана на основе Федерального государственного образовательного стандарта начального общего образования

Гражданское право

Готовые ответы по гражданском праву. ГК РФ - гражданский кодекс Российской Федерации. Вопросы юридический и физических лиц. Сделки договоры и договоренности, какие сделки считаются действительными, а какие недействительными; их регулирование законом.

Рабочая программа учебной дисциплины «Административное право»

Рабочая программа предназначена для преподавания дисциплины базовой (общепрофессиональной) части профессионального цикла студентам очной формы обучения по направлению подготовки «Юриспруденция»

Коммерческая деятельность в рыночной экономике

Коммерческая деятельность в рыночной экономике осуществляют не только отдельные предприниматели и их объединения, но и государство в лице своих органов и специализированных предприятий, которые имеют статус юридического лица.

Глобальные проблемы человечества

Глобальные проблемы человечества – это совокупность социально-природных проблем, от решения которых зависит социальный прогресс человечества и сохранение цивилизации. Глобальные проблемы угрожают существованию человечества

Где – ускорение точки А , принятой за полюс;

– ускорение т. В во вращательном движении вокруг полюса А ;

– соответственно касательная и нормальная составляющие
(рис. 3.25). Причем

(3.45)

где a – угол наклона относительного ускорения к отрезку АВ .

В случаях, когда w и e известны, формула (3.44) непосредственно используется для определения ускорений точек плоской фигуры. Однако во многих случаях зависимость угловой скорости от времени неизвестно, поэтому и угловое ускорение неизвестно. Кроме того, линия действия вектора ускорения одной из точек плоской фигуры известно. В этих случаях задача решается проектированием выражения (3.44) на соответствующим образом выбранные оси. Третий подход к определению ускорений точек плоской фигуры основан на использовании мгновенного центра ускорений (МЦУ).

В каждый момент времени движения плоской фигуры в своей плоскости, если w и e не равны нулю одновременно, имеется единственная точка этой фигуры, ускорение которой равно нулю. Эту точку называют мгновенным центром ускорений. МЦУ лежит на прямой, проведенной под углом a к ускорению точки, выбранной в качестве полюса, на расстоянии от которого

(3.46)

При этом угол a надо отложить от ускорения полюса в направлении дуговой стрелки углового ускорения e (рис. 3.26). В различные моменты времени МЦУ лежит в разных точках плоской фигуры. В общем случае МЦУ не совпадает с МЦС. При определении ускорений точек плоской фигуры МЦУ используется в качестве полюса. Тогда по формуле (3.44)

так как и следовательно

(4.48)

Ускорение направлено под углом a к отрезку Bq , соединяющему точку В с МЦУ в сторону дуговой стрелки углового ускорения e (рис. 3.26). Для точки С аналогично.

(3.49)

Из формулы (3.48), (3.49) имеем

Таким образом, ускорение точек фигуры при плоском движении можно определить так же как при чистом её вращении вокруг МЦУ.

Определение МЦУ.

1 В общем случае, когда w и e известны и не равны нулю, для угла a имеем

МЦУ лежит на пересечении прямых линий, проведенных к ускорениям точек фигуры под одним и тем же углом a, причем угол a нужно откладывать от ускорений точек в направлении дуговой стрелки углового ускорения (рис. 3.26).

Рис. 3.26

Рис. 3.27

2 В случае w¹0, e = 0, и, следовательно, a = 0. МЦУ лежит в точке пересечения прямых линий, по которым направлены ускорения точек плоской фигуры (рис. 3.27)

3 В случае w = 0, e ¹ 0, МЦУ лежит в точке пересечения перпендикуляров, восстановленных в точках А , В , С к соответствующим векторам ускорений (рис. 3.28).

Рис. 3.28

Определение углового ускорения при плоском движении

1 Если известен угол поворота или угловая скорость в зависимости от времени, то угловое ускорение определяется по известной формуле

2 Если в указанной выше формуле , Aр – расстояние от точки А плоской фигуры до МЦС, величина постоянная, то угловое ускорение определяется путем дифференцирования угловой скорости по времени

(3.52)

где – касательно ускорение точки А .

3 Иногда угловое ускорение удается найти путем проектирования соотношения типа (3.44) на соответствующим образом выбранные оси координат. При этом ускорение т. А , выбранной в качестве полюса, известно, известна также линия действия ускорения другой т.В фигуры. Из таким образом полученной системы уравнений определяется касательное ускорение Тогда e вычисляется по известной формуле .

Задача КЗ

Плоский механизм состоит из стержней 1, 2, 3, 4 и ползуна В или Е (рис. К3.0 – К3.7) или из стержней 1, 2, 3 и ползунов В и E (рис. К3.8, К3.9), соединенных друг с другом и с неподвижными опорами O 1 , О 2 шарнирами; точка D находится в середине стержня АВ. Длины стержней равны соответственно l 1 = 0,4 м, l 2 = 1,2 м,
l 3 = 1,4 м, l 4 = 0,6 м. Положение механизма определяется углами a, b, g, j, q. Значения этих углов и других заданных величин указаны в табл. К3а (для рис. 0 – 4) или в табл. К3б (для рис. 5 – 9); при этом в табл. К3а w 1 и w 2 – величины постоянные.

Рис. К3.0

Рис. К3.1

Рис. К3.2

Рис. К3.3

Рис. К3.5

Рис. К3.4

Рис. К3.6

Рис. К3.7

Рис. К3.8

Рис. К3.9

Определить величины, указанные в таблицах в столбцах «Найти». Дуговые стрелки на рисунках показывают, как при построении чертежа механизма должны откладываться соответствующие углы: по ходу или против хода часовой стрелки (например, угол g на рис. 8 следует отложить от DB по ходу часовой стрелки, а на рис. 9 – против хода часовой стрелки и т.д.).

Построение чертежа начинать со стержня, направление которого определяется углом a; ползун с направляющими для большей наглядности изобразить так, как в примере К3 (см. рис. К3б).

Заданные угловую скорость и угловое ускорение считать направленными против часовой стрелки, а заданные скорость и ускорение a B – от точки В к b (на рис. 5 – 9).

Указания. Задача К3 – на исследование плоскопараллельного движения твердого тела. При ее решения для определения скоростей точек механизма и угловых скоростей его звеньев следует воспользоваться теоремой о проекциях скоростей двух точек тела и понятием о мгновенном центре скоростей, применяя эту теорему (или это понятие) к каждому звену механизма в отдельности.

При определении ускорений точек механизма исходить из векторного равенства где А – точка, ускорение которой или задано, или непосредственно определяется по условиям задачи (если точка А движется по дуге окружности, то ); В –точка, ускорение которой нужно определить (о случае, когда точка В тоже движется по дуге окружности, см. примечание в конце рассмотренного ниже примера К3).

Пример К3 .

Механизм (рис. К3а) состоит из стержней 1, 2, 3, 4 и ползуна В, соединенных друг с другом и с неподвижными опорами O 1 и О 2 шарнирами.

Дано: a = 60°, b = 150°, g = 90°, j = 30°, q = 30°, AD = DB, l 1 = 0,4 м, l 2 = 1,2м, l 3 = 1,4 м, w 1 = 2 с –1 , e 1 = 7 с –2 (направления w 1 и e 1 против хода часовой стрелки).

Определить: v B , v E , w 2 , a B , e 3 .

1 Строим положение механизма в соответствии с заданными углами
(рис. К3б, на этом рисунке изображаем все векторы скоростей).

Рис. К3б

2 Определяем v B . Точка В принадлежит стержню АВ. Чтобы найти v B , надо знать скорость какой-нибудь другой точки этого стержня и направление По данным задачи, учитывая направление w 1 можем определить численно

v A = w 1 ×l 1 = 0,8 м/с; (1)

Направление найдем, учтя, что точка В принадлежит одновременно ползуну, движущемуся вдоль направляющих поступательно. Теперь, зная и направление , воспользуемся теоремой о проекциях скоростей двух точек тела (стержня АВ) па прямую, соединяющую эти точки (прямая АВ ). Сначала по этой теореме устанавливаем, в какую сторону направлен вектор (проекции скоростей должны иметь одинаковые знаки). Затем, вычисляя эти проекции, находим

v B ×cos 30° = v A ×cos 60° и v B = 0,46 м/с (2)

3 Определяем Точка Е принадлежит стержню DE. Следовательно, по аналогии с предыдущим, чтобы определить надо сначала найти скорость точки D, принадлежащей одновременно стержню АВ. Для этого, зная строим мгновенный центр скоростей (МЦС) стержня АВ ; это точка С 3 , лежащая на пересечении перпендикуляров к восставленных из точек А и В (к перпендикулярен стержень 1). АВ вокруг МЦС С 3 . Вектор перпендикулярен отрезку C 3 D , соединяющему точки D и С 3 , и направлен в сторону поворота. Величину v D найдем из пропорции

Чтобы вычислить C 3 D и С 3 В, заметим, что DAC 3 B – прямоугольный, так как острые углы в нем равны 30° и 60°, и что С 3 В = AB×sin 30° = AB×0,5 = BD. Тогда DBC 3 D является равносторонним и С 3 В = C 3 D. В результате равенство (3) дает

v D = v B = 0,46 м/с; (4)

Так как точка Е принадлежит одновременно стержню O 2 E , вращающемуся вокруг O 2 , то Тогда, восставляя из точек Е и D перпендикуляры к скоростям , построим МЦС C 2 стержня DE. По направлению вектора определяем направление поворота стержня DE вокруг центра С 2 . Вектор направлен в сторону поворота этого стержня. Из рис. К3б видно, что откуда С 2 E = С 2 D. Составив теперь пропорцию, найдем, что

V E = v D = 0,46 м/с. (5)

4 Определяем w 2 . Так как МЦС стержня 2 известен (точка С 2 ) и
C 2 D = l 2 /(2cos 30°) = 0,69 м, то

(6)

5 Определяем (рис. К3в, на котором изображаем все векторы ускорений). Точка В принадлежит стержню АВ. Чтобы найти , надо знать ускорение какой-нибудь другой точки стержня АВ и траекторию точки В. По данным задачи можем определить где численно

(7) (7)

Рис. К3в

Вектор направлен вдоль AO 1 , а – перпендикулярно АО 1: изображаем эти векторы на чертеже (см. рис. К3в). Так как точка В одновременно принадлежит ползуну, то вектор параллелен направляющим ползуна. Изображаем вектор на чертеже, полагая, что он направлен в ту же сторону, что и . Для определения воспользуемся равенством

Изображаем на чертеже векторы (вдоль ВА от В к А )и (в любую сторону перпендикулярно ВА) ; численно . Найдя w 3 с помощью построенного МЦС С 3 стержня 3, получим

Таким образом, у величин, входящих в равенство (8), неизвестны только числовые значения а В и их можно найти, спроектировав обе части равенства (8) на какие-нибудь две оси.

Чтобы определить а В, спроектируем обе части равенства (8) на направление ВА (ось х), перпендикулярное неизвестному вектору Тогда получим