В качестве критерия оптимальности транспортных перевозок. Транспортная задача. Постановка транспортной задачи

Одним из направлений организации транспортной логистики является оптимизация не только расходов по задействованию автотранспортных средств на предприятии, но также и оптимизации самих перевозок.

Дорогие читатели! Статья рассказывает о типовых способах решения юридических вопросов, но каждый случай индивидуален. Если вы хотите узнать, как решить именно Вашу проблему - обращайтесь к консультанту:

ЗАЯВКИ И ЗВОНКИ ПРИНИМАЮТСЯ КРУГЛОСУТОЧНО и БЕЗ ВЫХОДНЫХ ДНЕЙ .

Это быстро и БЕСПЛАТНО !

Изучение того, какие ставятся задачи для такой деятельности в организации, позволяет не путаться в понятиях и вести эффективную хозяйственную деятельность.

И, действительно, современные методы позволяют спрогнозировать большое количество перевозок по предприятию, каковы они ни были бы – дальнобойными, международными или же межрегиональными.

Что это такое

Оптимизация автотранспортных перевозок – это использование методов и технологий, позволяющих максимально точно рассчитать время управления маршрутами и расходами, связанными с перевозками.

Решать подобные задачи можно при помощи расчетов, производимых сотрудниками транспортного отдела, складов, управленческих подразделений по контролю запасов и другие отделы, при помощи компьютерной программы. Использует на практике сейчас – и то и другое.

Определяя понятие оптимизации автоперевозок, можно подчеркнуть – постоянное, регулярное усовершенствование системы перевозки (доставки, загрузки/выгрузки) грузов клиентов.

Такие технологии на сегодня специалистами предлагаются в форме программного обеспечения. Установка и пользование компьютерной программой, способной точно рассчитывать маршруты, расходы, направления и другие нюансы, позволяет не содержать большой штат в транспортном отделе. А некоторые организации уже даже не имеют такового вовсе.

Достаточно обучить оператора-диспетчера или бухгалтера работать в данном сервисе, и предприятие будет полностью обеспечено эффективным решением экспедиторских, посреднических и других задач.

Транспортная задача – это алгоритм решения линейных уравнений или решения иными способами с целью найти оптимальный план перевозок. Переменными в решении таких задач являются пункты – от точки поставщика к точке потребителя (клиента).

Главной целью решения таких задач является снижение затрат и максимальная оптимизация грузоперевозочной транспортной деятельности предприятия.

Например, если компания по перевозкам может своевременно быть осведомлена о пробках на дороге, ей так легче будет скорректировать маршрут своих машин заранее или же по пути.

Информированность, экономия, расчет движения по маршруту и другие технологии оптимизации позволяют доставить груз клиенту быстро, вовремя и с максимальной сохранностью груза.

Какие проблемы решает

Многие предприятия, занимающиеся грузоперевозками, стараются найти пути решения для следующих вопросов:

Как определить оптимальность маршрутов?
Насколько можно максимально наметить короткие пути для доставки груза?
На чем, как и где можно сэкономить?
Как распорядиться ведением хозяйственной деятельности и контроля маршрутов, если диспетчера нет на месте или диспетчер – новичок в работе? И другие вопросы.

Любая задача содержит в себе не только суть проблемы, что требуется решения, но и сам способ ее урегулирования и улучшения.

К задачам процесса, который способен оптимальным образом улучшить логистику на автотранспортном предприятии, относятся следующие подходящие способы:

В некоторых случаях ограничение количества тары, а также размеров грузоперевозочных машин.
Сведение к минимуму перепогрузок с одного транспортного средства в другое, из одной тары для транспортировки в другую.
Организация удобства погрузочных или разгрузочных работ в самом кузове грузовика.
Автоматизация маркировки грузов либо полное исключение такового освобождает процесс доставки от затягивания сроков перевозки.
Укрупнения количества единиц или самого груза в целом по машине, с механизацией разгрузки на месте у заказчика.
Учет типа машины для лучшей грузовместимости.
Добиться того, чтобы грузы имели одинаковый размер от заказа к заказу.
Сделать частоту поставок больше, при этом не увеличивать стоимость единицы груза, который перевозится.
Снижение затрат на процесс упаковки перевозимого товара вместе с тем, чтобы максимально сохранить его целостность в процессе перемещения из одной точки в другую.
Стандартизация подбора типов машин под каждый заказ, его размер.
Быстро определить, какие поставки клиентам максимальные, а какие – минимальные.
Сведение к минимуму затрат на перевозку бракованного товара, возвратной продукции.
Путем системы распределения сократить брак, возникающий в процессе перевозок.
Снизить величину времени, затрачиваемую на каждый транзит груза.
Уменьшение времени, затрачиваемого на каждый простой, который происходит по естественным причинам – загрузка/разгрузка.
Сведение к минимуму затрат, что приходятся на доставку груза клиенту.
Сделать равномерным поток движения грузовых поставок. Особенно это касается сезонной специфики.
Если речь идет о партиях поставок, тогда желательно использовать минимум количества машин, задействованных для этих целей.
Сортировка грузов таким образом, чтобы максимально его вместить в машину.
Снижение времени, затрачиваемого на поступление и получение той или иной информации касательно грузов, заявок на поставку и самой транспортировки. Например:
- сведения о простое;
- оперативная информация о месте нахождения грузовиков;
- когда прибыла машина в пункт назначения (время указывается с точностью до секунд);
- своевременное сообщение диспетчеру о поломках в пути или иных возникших препятствиях к благополучному прибытию в пункт назначения и другое.

Таким образом, мы понимаем, что помимо проблем напрямую, которые очевидны сразу, существуют также и косвенные причины снижения эффективности работы в сфере транспортных перевозок.

Например, слабо организованные требования к состоянию автомобилей и своевременному их ремонту может впоследствии существенно затруднять скорость доставки.

Или же, если были допущены ошибки в требованиях к плану перевозок – тогда вполне очевидно, что водитель может, либо сбиться с курса, либо не учесть особенности сроков доставки и другие проблемы.

Методы оптимизации транспортных перевозок

Современное практическое применение множества задач позволило отобрать сегодня одну из наиболее оптимальных методик – это эвристический метод.

Подход заключается в основном не в акценте на эффективность маршрута, а в максимально приближении самого решения задачи в целом, что ставит предприятия на основе клиентского заказа.

Используется в основном модели линейного программирования. Такое целевое решение задач оптимизации транспортных перевозок позволяет их реализовывать быстро и точно.

Однако эвристика лишена гибкости, а потому ее современные логисты еще дорабатывают. Одно, несомненно – за данным методом явно видится будущее для наиболее эффективного транспортного перемещения.

Определим несколько наиболее активных методов, которыми пользуются на сегодня транспортники:

Исследование операций.
Линейное математическое программирование (ЛП):
- применение линейных уравнений при расчетах – линейной функцией от элементов путей решения является целевая (эффективная) функция L (х);
- линейные равенства/неравенства представляют собой ограничительные условия для возможных решений;
- целевой функцией является самое большее ил меньшее значение, которое ищут в математическом программировании, учитывая ограничения;
- ограничения могут встречаться строгими (ровно столько и никак иначе) и нестрогими (не более или не менее какого-то ориентировочного значения).
Техника северо-западных углов (эвристика).
Методика мини-тарификации (эвристика).
Метод Фогеля (эвристика).
Способ коммивояжера.
Применение алгоритма Свира (или еще как говорят – «дворника-очистителя», задачи решаются нематематической эвристикой).

Бригада ученых и высококвалифицированных специалистов занимается изучением, разработкой и применением на практике тех или иных техник для принятия оптимальных решений.

Данным видом деятельности занимаются, как правило, крупные концерны и предприятия по поставкам и грузоперевозкам. Это те организации, что могут себе позволить содержать отдельные лаборатории или исследовательские отделы для разработки программ оптимизации.

Помимо исследовательских подходов существует в практике также и математические расчеты логистов. Они могут использовать не только линейные уравнения, но вытекающие из них, матричные расчеты.

Эвристика позволяет расставить в матрице значения, начиная с левой ячейки вверху. И начинается расстановка с наименьшей цены, более дешевых заказов в сторону увеличения.

Такой принцип используется также и в методе минимальных тарифов, но только тогда от угла не расставляют значения. Так можно отыскать необходимые решения – от предварительных до окончательных оптимальных итогов.

В технике Фогеля предполагают наличие некое вспомогательного коэффициента, который следует рассчитать как по строке, так и по столбцу матрицы.

Коэффициент будет равняться разности тарифов (двух самых минимальных), которые имеются в строке или столбце. Распределение коэффициентов следует по принципу «от наибольшего к наименьшему».

Задачи коммивояжера позволяют найти наиболее выгодный маршрут с прохождением по пути хотя бы единожды по территории того или иного города и до конечного пункта возврата в точку исходного города.

Это говорит о том, что в условиях задач по принципу коммивояжера будут выставляться критерии выгоды по стоимости маршрута. Технически это выглядит следующим образом – на протяжении всего рейса грузовик должен проходить каждый город один раз.

Поэтому из-за большого скопления в одном заказе точек по маршруту такую задачу нельзя решить методов исследования операций. Здесь самым выгодным будет именно эвристический подход.

Как организована на предприятии

При практическом решении транспортно-грузовых задач требуется согласовать все нюансы. Нужно правильно спланировать маршруты, погрузку товаров, его своевременную разгрузку, возврат машины и прочие моменты, касающиеся операции в целом.

А для этого предпринимают следующие шаги:

Организация координационного отдела или постановка задачи перед одним сотрудником-координатором (чаще всего таковым является начальник или менеджер ).
Смежная работа между отделами, издание соответствующих распоряжений и приказов и иное взаимодействие между отделами.
Совместное планирование маршрутов, согласование и реализация этих планов, построение графиков между отделами или подразделениями.
Установка между операциями единых показателей таким образом, чтобы достичь более функциональной работы.
При необходимости привлекается руководство для налаживания связей между подразделениями, отделами предприятия.
Обязанности между отделами и сотрудниками должны быть четко разделены.
Если возникают какие-либо споры, тогда должны быть обозначены те лица, которые будут уполномочены принимать окончательные решения.
Организовать единое информационное поле, которое бы показывало состояние маршрутов и грузоперевозок.

Единое инфопространство между отделами может быть налажено между складом, отделом логистики, диспетчерской и другими подразделениями, имеющими отношение к грузоперевозкам.

Проектные параметры. Этим термином обозначают независимые переменные параметры, которые полностью и однозначно определяют решаемую задачу проектирования. Проектные параметры - неизвестные величины, значения которых вычисляются в процессе оптимизации. В качестве проектных параметров могут служить любые основные или производные величины, служащие для количественного описания системы. Так, это могут быть неизвестные значения длины, массы, времени, температуры. Число проектных параметров характеризует степень сложности данной задачи проектирования. Обычно число проектных параметров обозначают через п, а сами проектные параметры через х с соответствующими индексами. Таким образом п проектных параметров данной задачи будем обозначать через

Х1,Х2,Х3,…Хп.

Следует отметить, что проектные параметры в некоторых источниках могут называться внутренними управляемыми параметрами.

Целевая функция. Это - выражение, значение которого инженер стремиться сделать максимальным или минимальным. Целевая функция позволяет количественно сравнить два альтернативных решения. С математической точки зрения целевая функция описывает некоторую (п+1) - мерную поверхность. Ее значение определяется проектными параметрами

М = М (х1,х2,…,хп).

Примерами целевой функции, часто встречающимися в инженерной практике, являются стоимость, вес, прочность, габариты, КПД. Если имеется только один проектный параметр, то целевую функцию можно представить кривой на плоскости (рис.1). Если проектных параметров два, то целевая функция будет изображаться поверхностью в пространстве трех измерений (рис.2). При трех и более проектных параметрах поверхности, задаваемые целевой функцией, называются гиперповерхностями и не поддаются изображению обычными средствами. Топологические свойства поверхности целевой функции играют большую роль в процессе оптимизации, так как от них зависит выбор наиболее эффективного алгоритма.

Рисунок 1. Одномерная целевая функция.

Рисунок 2. Двумерная целевая функция.

Целевая функция в ряде случаев может принимать самые неожиданные формы. Например, ее не всегда удается выразить в замкнутой математической форме, в других случаях она может представлять собой кусочно-линейную функцию. Для задания целевой функции иногда может потребоваться таблица технических данных (например, таблица состояния водяного пара) или может понадобиться провести эксперимент. В ряде случаев проектные параметры принимают только целые значения. Примером может служить число зубьев в зубчатой передаче или число болтов во фланце. Иногда проектные параметры имеют только два значения - да или нет. Качественные параметры, такие как удовлетворение, которое испытывает приобретший изделие покупатель, надежность, эстетичность, трудно учитывать в процессе оптимизации, так как их практически невозможно охарактеризовать количественно. Однако в каком бы виде ни была представлена целевая функция, она должна быть однозначной функцией проектных параметров.

В ряде задач оптимизации требуется введение более одной целевой функции. Иногда одна из них может оказаться несовместимой с другой. Примером служит проектирование самолетов, когда одновременно требуется обеспечить максимальную прочность, минимальный вес и минимальную стоимость. В таких случаях конструктор должен ввести систему приоритетов и поставить в соответствие каждой целевой функции некоторый безразмерный множитель. В результате появляется «функция компромисса», позволяющая в процессе оптимизации пользоваться одной составной целевой функцией.

Поиск минимума и максимума. Одни алгоритмы оптимизации приспособлены для поиска максимума, другие - для поиска минимума. Однако независимо от типа решаемой задачи на экстремум можно пользоваться одним и тем же алгоритмом, так как задачу минимизации можно легко превратить в задачу на поиск максимума, поменяв знак целевой функции на обратный. Этот прием иллюстрируется на рис.3.

Рисунок 3. При изменении знака целевой функции на противоположный в задаче на минимум, превращает ее в задачу на максимум.

Пространство проектирования. Так называется область, определяемая всеми п, проектными параметрами. Пространство проектирования не столь велико, как может показаться, поскольку оно обычно ограничено рядом условий, связанных с физической сущностью задачи. Ограничения могут быть столь сильными, что задача не будет иметь ни одного удовлетворительного решения. Ограничения делятся на две группы: ограничения - равенства и ограничения - неравенства.

Ограничения-равенства - это зависимость между проектными параметрами, которые должны учитываться при отыскании решения. Они отражают законы природы, экономики, права, господствующие вкусы и наличие необходимых материалов. Число ограничений - равенств может быть любым. Они имеют вид

С1 (X1, X2, Х3, . . ., Хп) = 0,

С2 (X1, X2, Х3, . . ., Х п) = 0,

..……………………………..

Сj(X1, X2, Х 3, . . ., Хп) = 0.

Ограничения-неравенства - это особый вид ограничений, выражаемых неравенствами. В общем случае их может быть сколько угодно много, причем все они имеют вид

z1 ?r1(X1, X2, Х3, . . ., Хп) ?Z1

z2 ?r2(X1, X2, Х3, . . ., Хп) ?Z2

………………………………………

zk ?rk(X1, X2, Х3, . . ., Хп) ?Zk

Следует отметить, что очень часто в связи с ограничениями оптимальное значение целевой функции достигается не там, где ее поверхность имеет нулевой градиент. Нередко лучшее решение соответствует одной из границ области проектирования.

Прямые и функциональные ограничения. Прямые ограничения имеют вид

xнi ? xi ? xвi при i ? ,

где xнi , xвi - минимально и максимально допустимые значения i-го управляемого параметра; п - размерность пространства управляемых параметров. Например для многих объектов параметры элементов не могут быть отрицательными: xнi ? 0 (геометрические размеры, электрические сопротивления, массы и т.п.).

Функциональные ограничения, как правило, представляют собой условия работоспособности выходных параметров, не вошедших в целевую функцию. Функциональные ограничения могут быть:

1) типа равенств
ш (Х) = 0; (2.1)
2) типа неравенств

ц (Х) › 0, (2.2)

где ш (Х) и ц (Х) - вектор-функции.

Прямые и функциональные ограничения формируют допустимую область поиска:

ХД = {Х | ш(Х) = 0, ц (Х)›0, xi › xнi ,

xi ‹ xвi при i ? }.

Если ограничения (2.1) и (2.2) совпадают с условиями работоспособности, то допустимую область называют также областью работоспособности ХР.

Любая из точек Х принадлежащая ХД является допустимым решением задачи. Часто параметрический синтез ставится как задача определения любого из допустимых решений. Однако гораздо важнее решить задачу оптимизации - найти оптимальное решение среди допустимых.

Локальный оптимум. Так называется точка пространства проектирования, в которой целевая функция имеет наибольшее значение по сравнению с ее значениями во всех других точках ее ближайшей окрестности. На рис.4 показана одномерная целевая функция, имеющая два локальных оптимума. Часто пространство проектирования содержит много локальных оптимумов и следует соблюдать осторожность, чтобы не принять первый из них за оптимальное решение задачи.

Рисунок 4. Произвольная целевая функция может иметь несколько локальных оптимумов.

Глобальный оптимум - это оптимальное решение для всего пространства проектирования. Оно лучше всех других решений соответствующих локальным оптимумам, и именно его ищет конструктор. Возможен случай нескольких равных глобальных оптимумов, расположенных в разных частях пространства проектирования. Это позволяет выбрать наилучший вариант из равных оптимальных вариантов по целевой функции. В данном случае проектировщик может выбрать вариант интуитивно либо на основе сравнения полученных вариантов.

Выбор критериев. Основная проблема постановки экстремальных задач заключается в формулировке целевой функции. Сложность выбора целевой функции состоит в том, что любой технический объект первоначально имеет векторный характер критериев оптимальности (многокритериальность). Причем улучшение одного из выходных параметров, как правило, приводит к ухудшению другого, так как все выходные параметры являются функциями одних и тех же управляемых параметров и не могут изменяться независимо друг от друга. Такие выходные параметры называют конфликтными параметрами.

Целевая функция должна быть одна (принцип однозначности). Сведение многокритериальной задачи к однокритериальной называют сверткой векторного критерия. Задача поиска его экстремума сводится к задаче математического программирования. В зависимости от того каким образом выбираются и объединяются выходные параметры, в скалярной функции качества, различают частные, аддитивные, мультипликативные, минимаксные, статистические критерии и другие критерии. В техническом задании на проектирование технического объекта указываются требования к основным выходным параметрам. Эти требования выражаются в виде конкретных числовых данных, диапазона их изменения, условия функционирования и допустимых минимальных или максимальных значений. Требуемые соотношения между выходными параметрами и техническими требованиями (ТТ) называют условиями работоспособности и записываются в виде:

yi < TTi , i О ; yi > TTj , j О ;

yr = TTr ± ?yr; r О .

где yi, yj, yr - множество выходных параметров;

TTi, TTj, TTr - требуемые количественные значения соответствующих выходных параметров по техническому заданию;

Yr - допустимое отклонение r-го выходного параметра от указанного в техническом задании значения TTr.

Условия работоспособности имеют определяющее значение в разработке технических устройств, так как задачей проектирования является выбор проектного решения, в котором наилучшим образом выполняются все условия работоспособности во всем диапазоне изменения внешних параметров и при выполнении всех требований технического задания.

Частные критерии могут применяться в случаях, когда среди выходных параметров можно выделить один основной параметр yi(Х), наиболее полно отражающий эффективность проектируемого объекта. Этот параметр принимают за целевую функцию. Примерами таких параметров являются: для энергетического объекта - мощность, для технологического автомата - производительность, для транспортного средства - грузоподъемность. Для многих технических объектов таким параметром служит стоимость. Условия работоспособности всех остальных выходных параметров объекта относят при этом к функциональным ограничениям. Оптимизация на основе такой постановки называется оптимизацией по частному критерию.

Достоинство такого подхода - его простота, существенный недостаток - то, что большой запас работоспособности можно получить только по основному параметру, который принят в качестве целевой функции, а другие выходные параметры вообще не будут иметь запасов.

Взвешенный аддитивный критерий применяют тогда, когда условия работоспособности позволяют выделить две группы выходных параметров. В первую группу входят выходные параметры, значения которых в процессе оптимизации нужно увеличивать y+i(X) (производительность, помехоустойчивость, вероятность безотказной работы и т. п.), во вторую - выходные параметры, значения которых следует уменьшать y-i (X) (расход топлива, длительность переходного процесса, перерегулирование, смещение и пр.). Объединение нескольких выходных параметров, имеющих в общем случае различную физическую размерность, в одной скалярной целевой функции требует предварительного нормирования этих параметров. Способы нормирования параметров будут рассмотрены ниже. Пока будем считать, что все у(Х) безразмерны и среди них нет таких, которым соответствуют условия работоспособности типа равенства. Тогда для случая минимизации целевой функции свертка векторного критерия будет иметь вид

где aj>0 - весовой коэффициент, определяющий степень важности j-го выходного параметра (обычно aj выбираются проектировщиком и в процессе оптимизации остаются постоянными).

Целевую функцию в форме (2.1), выражающую аддитивный критерий, можно записать и в том случае, когда все или основные условия работоспособности имеют вид равенств. Тогда целевая функция

определяет среднеквадратичное приближение yj(X) к заданным техническим требованиям TTj.

Мультипликативный критерий может применяться в тех случаях, когда отсутствуют условия работоспособности типа равенств и выходные параметры не могут принимать нулевые значения. Тогда минимизируемая мультипликативная целевая функция имеет вид

Одним из наиболее существенных недостатков как аддитивного, так и мультипликативного критерия является неучет в постановке задачи технических требований, предъявляемых к выходным параметрам.

Критерий формы функции используют, когда ставится задача наилучшего совпадения заданной (эталонной) характеристики yТТ(Х,щ) с соответствующей выходной характеристикой y(Х,щ) проектируемого объекта, где щ - некоторая переменная, например частота, время, избранная фазовая переменная. К таким задачам относятся: проектирование системы автоматического регулирования, обеспечивающей требуемый вид переходного процесса по регулируемому параметру; определение параметров модели транзистора, дающих максимальное совпадение его теоретических вольт-амперных характеристик с экспериментальными; поиск параметров сечений балки, значения которых приводят к наилучшему совпадению заданной эпюры напряжений с расчетной, и т. п.

Использование частного критерия оптимизации в этих случаях сводится к замене непрерывных характеристик конечным множеством узловых точек и выбору одной из следующих целевых функций, подлежащих минимизации:

где р -- количество узловых точек щj на оси переменной щ; aj - весовые коэффициенты, значения которых тем больше, чем меньшее отклонение y(Х, щj) - yTT(Х, щj) нужно получить в j-и точке.

Максиминные (минимаксные) критерии позволяют достичь одной из целей оптимального проектирования - наилучшего удовлетворения условий работоспособности.

Введем количественную оценку степени выполнения j-го условия работоспособности, обозначим ее через zj и будем называть запасом работоспособности параметра yj. Расчет запаса по j-му выходному параметру можно выполнить различными способами, например,

где аj - весовой коэффициент; yjном - номинальное значение j-го выходного параметра; дj - величина, характеризующая разброс j -го выходного параметра.

Здесь предполагается, что все соотношения сведены к виду yi < TТj. Если yi > TТj , то -yj < -TТj . Следует принимать аj >1 (рекомендуемые значения 5 ? аj ? 20), если желательно достичь выполнения j-го технического требования с заданным допуском, т. е. yj = TТj ± ?yj; aj=l, если необходимо получить максимально возможную оценку zj.

Качество функционирования технической системы характеризуется вектором выходных параметров и, следовательно, вектором Z=(zm,zm,…,zm). Поэтому целевую функцию следует формировать как некоторую функцию ц(Z) вектора оценок. Например, если в качестве целевой функции рассматривается запас только того выходного параметра, который в данной точке X является наихудшим с позиций выполнения требований ТЗ, то

где m - количество запасов работоспособности.

Естественно теперь поставить задачу о выборе такой стратегии поиска X, которая максимизировала бы минимальный из запасов, т. е.

где ХД - допустимая для поиска область.

Критерий оптимизации с целевой функцией (2.6) называют максиминным критерием.

Статистические критерии. Оптимизация при статистических критериях имеет целью получение максимальной вероятности Р выполнение работоспособности. Эту вероятность принимают в качестве целевой функции. Тогда имеем задачу

Нормирование управляемых и выходных параметров. Пространство управляемых параметров - метрическое. Поэтому при выборе направлений и величин шагов поиска необходимо вводить ту или иную норму, отождествляемую с расстоянием между двумя точками. Последнее предполагает, что все управляемые параметры имеют одинаковую размерность или являются безразмерными.

Возможны различные способы нормирования. В качестве примера рассмотрим способ логарифмического нормирования, достоинством которого является переход от абсолютных приращений параметров к относительным. В этом случае i-и управляемый параметр ui преобразуется в безразмерный хi следующим образом:

где оi - коэффициент, численно равный единице параметра ui .

Нормирование выходных параметров можно выполнить с помощью весовых коэффициентов, как в аддитивом критерии, или переходом от уj к запасам работоспособности zj по (2.5).

При решении транспортной задачи выбор критерия оптимальности имеет важное значение. Как известно, оценка экономической эффективности примерного плана может определятся по тому или иному критерию, положенного в основу расчета плана. Этот критерий является экономическим показателем, характеризующим качество плана. До настоящего времени нет общепринятого единого критерия всесторонне учитывающего экономические факторы. При решении транспортной задачи, в качестве критерия оптимальности в различных случаях используют следующие показатели:

1) Объем работы транспорта (критерий - расстояние в т/км). Минимум пробега удобен для оценки планов перевозок, поскольку расстояние перевозки определяется легко и точно для любого направления. Поэтому критерию нельзя решать транспортные задачи с участием многих видов транспорта. С успехом применяется при решении транспортных задач для автомобильного транспорта. При разработке оптимальных схем перевозки однородных грузов автомобилями.

2) Тарифная плата за перевозку груза (критерий - тарифы провозных плат). Позволяет получить схему перевозок, наилучшую с точки зрения хозрасчетных показателей предприятия. Все надбавки, а также существующие льготные тарифы затрудняют его использование.

3) Эксплутационные расходы на транспортировку грузов (критерий - себестоимость эксплутационных расходов). Более верно отражает экономичность перевозок различными видами транспорта. Позволяет делать обоснованные выводы о целесообразности переключения с одного вида транспорта на другой.

4) Сроки доставки грузов (критерий - затраты времени).

5) Приведенные затраты (с учетом эксплуатационных расходов, зависящих от размеров движения и капиталовложения в подвижной состав).

6) Приведенные затраты (с учетом полных эксплуатационных расходов капиталовложений на строительство объектов в подвижной состав).

где - эксплутационные издержки,

Расчетный коэффициент эффективности капиталовложения,

Капитальные вложения, приходящие на 1 т груза на протяжении участка,

Т - время следования,

Ц - цена одной тоны груза.

Позволяет более полно производить оценку рационализации разных вариантов планов перевозок, с достаточно полной выраженностью количественно-одновременное влияние нескольких экономических факторов.

Рассмотрим транспортную задачу, в качестве критерия оптимальности которой взята минимальная стоимость перевозок всего груза. Обозначим через тарифы перевозки единицы груза из i-го пункта отправления в j-й пункт назначения, через – запасы груза в i-м пункте отправления, через – потребности в грузе в j–м пункте назначения, а через – количество единиц груза, перевозимого из i-го пункта отправления в j-й пункт назначения. Тогда математическая постановка задачи состоит в определении минимального значения функции

при условиях

Поскольку переменные удовлетворяют системам линейных уравнений (2) и (3) и условию неотрицательности (4), то обеспечиваются вывоз имеющегося груза из всех пунктов отправления, доставка необходимого количества груза в каждый из пунктов назначения, а также исключаются обратные перевозки.

Таким образом, Т-задача представляет собой задачу ЛП с m*n числом переменных, и m + n числом ограничений - равенств.

Очевидно, общее наличие груза у поставщиков равно , а общая потребность в грузе в пунктах назначения равна единиц. Если общая потребность в грузе в пунктах назначения равна запасу груза в пунктах отправления, т. е.

то модель такой транспортной задачи называется закрытой или сбалансированной .

Существует ряд практических задач, в которых условие баланса не выполняется. Такие модели называются открытыми . Возможные два случая:

В первом случае полное удовлетворение спроса невозможно .

Такую задачу можно привести к обычной транспортной задаче следующим образом. В случае превышения потребности над запасом, т. е. вводится фиктивный (m +1)–й пункт отправления с запасом груза и тарифы полагаются равными нулю:

Тогда требуется минимизировать

при условиях

Рассмотрим теперь второй случай .

Аналогично, при вводится фиктивный (n +1)–й пункт назначения с потребностью и соответствующие тарифы считаются равными нулю:

Тогда соответствующая Т-задача запишется так:

Минимизировать

при условиях:

Этим задача сводится к обычной транспортной задаче, из оптимального плана которой получается оптимальный план исходной задачи.

В дальнейшем будем рассматривать закрытую модель транспортной задачи. Если же модель конкретной задачи является открытой, то, исходя из сказанного выше, перепишем таблицу условий задачи так, чтобы выполнялось равенство (5).

В некоторых случаях нужно задать, что по каким-либо маршрутам нельзя перевозить продукцию. Тогда стоимости перевозок по этим маршрутам задаются так, чтобы они превышали самые высокие стоимости возможных перевозок (для того, чтобы было невыгодно везти по недоступным маршрутам) – при решении задачи на минимум. На максимум – наоборот.

Иногда нужно учесть, что между какими-то пунктами отправки и какими-то пунктами потребления заключены договора на фиксированные объемы поставки, то надо исключить объем гарантированной поставки из дальнейшего рассмотрения. Для этого объем гарантированной поставки вычитается из следующих величин:

· из запаса соответствующего пункта отправки;

· из потребности соответствующего пункта назначения.

Конец работы -

Эта тема принадлежит разделу:

Транспортная задача

Пример.. четыре предприятия данного экономического района для производства продукции..

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Выбор критерия зависит от: характера проблемы, наличной информации и требуемой точности нахождения оптимума.
Примерами локального критерия оптимальности транспортной задачи могут служить:
а) критерий минимума суммарного пробега (пригоден только для решения закрытых транспортных задач в пределах одного вида транспорта);
б) при оптимизации перевозок в пределах года обычным стоимостным критерием является сумма зависящих приведенных расходов:
C = Эзав + Эпер + Еп (К пс + C гр),
где Эзав - зависящие от движения эксплуатационные расходы,
Кпс - капитальные вложения в подвижной состав,
Сгр - стоимость грузов, находящихся в процессе перевозки,
Эпер - издержки по перевалкам;
в) при составлении оптимальных схем перевозок на перспективу возможно усиление пропускной способности линий в зависимости от размещения на них оптимальных грузопотоков. Поэтому в критерии оптимальности учитывается:
Кпост - затраты на необходимое развитие пропускной способности по по-стоянным устройствам,
Энез - независящие эксплуатационные расходы.
Тогда
C = Эзав + Энез + Еп(Кпс + Кпост + Cгр) ;
477
г) в некоторых случаях при решении открытых транспортных задач допускается использование в качестве критерия суммы издержек производства и та-рифных плат за перевозки;
д) в отдельных задачах по оптимизации срочных перевозок в качестве критерия выступает время: тонно-часы (вагоны-часы) пребывания груза в процессе перевозки или общее время завершения определенной перевозочной операции.
Из многих методов решения матричных задач наиболее распространенными являются: метод потенциалов (Л. А. Канторович и М.В. Говурин) и метод условно-оптимальных планов (А. Л. Лурье).
Метод условно-оптимальных планов относится к методам сокращения невязок:
в начальном варианте допускается нарушение основных ограничений транспортной задачи
X Xij = Bj (j = 1, 2, ... л); X Xij = Ai (i = 1, 2, ... m);
i j
допущенные невязки и разбалансировки устраняются путем внесения ряда поправок.
Основные этапы метода условно-оптимальных планов можно рассмотреть на примере некоторой транспортной задачи (см. табл. 17.1), требующей увязать ресурсы трех поставщиков А1, А2, A3 (строки табл. 17.1) с потребностями че-тырех потребителей В1^В4 (столбцы табл. 17.1). В правых верхних углах клеток матрицы показаны стоимости перевозки Су единицы груза от поставщика и потребителя Вj - оптимальное решение будет получено за четыре этапа реше-ния, которые называют приближениями задачи и также показаны в табл. 17.1.
Пример решения матричной транспортной задачи методом условно-оптимальных планов Номер прибли-жения Поставщик и Потребитель и его потребность, Bj Сумма по-ставок Разба-лансы Л,- его ресурс, ЛІ B 7 B2 9 B3 9 B4 5 ^xij J J A1 10 10/12 7 12/14 9 9/11 15/17 5 21 -11 1 A2 10 1 14
Г 20 8 9 50 9 +1 A3 10 12 15 20 25 0 +10 Aj 12-10=2 15-12=3 - 25-15=10 A1 10 12/13 4/15 9 11/12 17/18 5 14 -4 2 A2 10 14 1 20 8 9 50 9 +1 A3 10 12 7 15 20 25 7 +3 Aj - 1 - 8 A1 10 і ^ 13/15 5/17 6 2/14 8/20 5 11 -1 3 A2 10 14 1 20 8 9 50 9 +1 A3 10 2/14 7 15/17
3 20/22 25/27 10 -0 Aj 14-12=2 20-15=5 - 50-18=32 Aj 10 15 17 5 14 20 5 10 +0 4 A2 10 14 1 20 8 9 50 10 +0 A3 10 14
6 17 4 22 27 10 +0
Каждый этап решения состоит из 9-ти шагов (пунктов). 1. Построение начального варианта.
В столбцах 3-6 матрицы (табл. 17.1) находится клетка с минимальной стоимостью:
Сkj = min Cjj.
В эту клетку заносится поставка, равная полной потребности столбца:
Xkj = BJ.
При наличии нескольких клеток с минимальной стоимостью поставка Bj распределяется между ними произвольно.
В табл. 17.1 для первого, второго и четвертого столбцов минимальные стоимости обнаружены в первой строке (10, 12, 15), для третьего столбца - во второй (8).
Определение сумм поставок и невязок.
Находятся суммы поставок по каждой строке Z Xij и разности между ре-
J
сурсами поставщиков и предусмотренными поставками:
RI = 4 -z XIJ.
j
Разности Rj называются невязками или разбалансами. Так, в таблице, в приближении № 1 разбалансы показаны в последнем столбце и равны для трех поставщиков соответственно -11, +1, +10.
Проверка наличия отрицательных разбалансов.
Отсутствие отрицательных разбалансов говорит об оптимальности найденного варианта решения. В приближении № 1 табл. 17.1 первая строка имеет отрицательный разбаланс -11, поэтому поиск оптимального решения будет продолжен.
Классификация строк.
Строка i считается абсолютно недостаточной, если ее разбаланс отрицательный, и абсолютно избыточной, если разбаланс - положительный. При R = 0 строки классифицируются на относительно избыточные и относительно недостаточные согласно примечанию, которое будет указано ниже. В приближении № 1 (табл. 17.1) 1-я строка абсолютно недостаточная, 2-я и 3-я строки - абсолютно избыточные.
Преобразование матрицы стоимостей. Включает в себя следующие действия:
а) в каждом столбце, имеющем поставку в недостаточной строке, находится минимальная из стоимостей на пересечении с избыточными строками:
С rj = min Cj;
I gU ,
где U - множество абсолютно и относительно избыточных строк.
Например, в приближении № 1 в 1-м столбце наименьшая стоимость по избыточным строкам:
С r1 = min (14, 12) = 12.
Во 2-м столбце наименьшая стоимость по избыточным строкам Cr2 = min (20, 15), в 4-м - Cr4 = min (50, 25) = 25. В 3-м столбце Cr1 min по избыточным строкам не определяется, так как этот столбец не имеет поставки в единственной недостаточной 1-й строке;
б) в каждом столбце, имеющем поставку в недостаточной строке, определяется разность между минимальной стоимостью по избыточным строкам и минимальной стоимостью по столбцу в целом:
A j = C rj - C kj .
Значение Aj фиксируется во вспомогательной строке (строкаj в табл. 17.1).
Например, в приближении № 1 в 1-м столбце Aj = 12-10 = 2, во 2-м Aj = 15- = 12 = 3, в 4-м столбце Aj = 15-15 = 10. В 3-м столбце значение A3 не определено, так как поставка находится в избыточной строке;
в) находится наименьшее значение из всех Aj:
A = min Aj, которое прибавляется по всем стоимостям во всех недостаточных строках.
Так, для приближения № 1 получаем:
A = min (2, 3, 10) = 2.
Все стоимости в недостаточной 1-й строке увеличиваются на A = 2, в остальных не меняются. Значения стоимостей на этом этапе решения показываются дробью в правом верхнем углу клеток в недостаточных строках, причем в числителе дроби - первоначальное значение стоимости, в знаменателе - обновленное в соответствии с шагом 5 алгоритма решения задачи.
6. Нахождение связей строк, возникших в результате преобразования стоимостей в пункте 5.
Строка S считается связанной со строкой t при соблюдении 2-х условий:
а) в каком-либо столбце d имеется совпадение стоимостей
С sd = Ctd ;
б) в клетке sd имеется поставка
Xsd > 0.
481
При этих условиях существует направленная связь клеток:
sd ^ td.
При ручном выполнении расчетов связи удобно показывать стрелками на матрице.
Смысл понятия связи строк следующий. В рассматриваемом методе допустимыми для поставок являются клетки матриц с минимальными по столбцу стоимостями. После изменения стоимостей в матрице появляется новая допустимая клетка (иногда несколько), в которую может быть перенесена часть поставки из недостаточной строки.
Связь строк указывает возможное направление переноса поставки. Так, в приближении № 1 после изменения стоимостей в 1-й строке клетка 3.1 стала допустимой. Это означает возможность переноса поставки из клетки 1.1 в клетку 3.1, т.е. наличие связи между этими строками.
Нахождение последовательности (цепи) связей между абсолютно недостаточной и любой избыточной строками.
Цепь может состоять из одной или несколько связей и возникает после исполнения пункта 6. В нее всегда входит вновь образованная в этом пункте связь, начиная от которой удобно вести поиск цепи.
Например, в приближении № 3 новая связь появилась между клетками 3.1 и 2.1; от прежнего цикла (приближения) осталась связь клеток 1.2 и 3.2. Цепь от абсолютно недостаточной 1-й строки до избыточной 2-й строки проходит по клеткам 1.2-3.2 и 3.1-2.1. В приближении № 1 цепь состоит лишь из одной связи 1.1-3.1, так как эта связь начинается в абсолютно недостаточной и кончается в избыточной строке.
Определение величины переноса поставок AX, выполняемого одновременно по всем связям найденной цепи.
Эта величина равняется наименьшему из следующих чисел:
абсолютному значению разбаланса в недостаточной строке, где цепь начинается;
разбалансу в избыточной строке, где цепь кончается;
значению поставок во всех клетках, где начинаются связи, входящие в цепь:
нч
X
AX = min
/R /. R
нач кон
нч
где Xij - поставки в нечетных клетках цепи, если переписать их в порядке от недостающей строки к избыточной,
^нач, ^кон, - невязки в строках, где начинается и кончается цепь переноса поставок.
Например, величина переноса по цепи, найденной в приближении № 1, равна
AX = min (11, 10, 7) = 7, а по цепи, найденной в приближении № 3 -
AX = min (1,1,6,7) = 1.
9. Перенос поставок.
Найденное значение AX вычитается из поставок во всех нечетных по порядку клетках цепи и добавляется к поставкам во всех четных. В результате получается новый вариант плана, либо оптимальный, либо с меньшей по модулю суммой отрицательных разбалансов, чем предыдущий вариант. Далее метод условно-оптимальных планов предполагает переход к шагу 2 и циклическое продолжение шагов алгоритма до тех пор, пока в пункте не обнаружится, что отрицательных разбалансов больше нет и найденное решение оптимально.
Так, в приближении № 1 переносится 7 единиц поставок из клетки 1.1 в клетку 3.1 и происходит переход к приближению № 2.
При выполнении пункта 9 в приближении № 2 переносятся 3 единицы поставок из клетки 1.2 в клетку 3.2, и происходит переход к приближению № 3. В приближении № 3 единицы поставок переносятся из клетки 1.2 в клетку 3.2 и из клетки 3.1 - в клетку 2.1. Полученное в результате приближение № 4 после проверки на шаге 3 алгоритма решения оказывается оптимальным.
Решение матричной транспортной задачи с применением компьютеров позволяет использовать иной вариант метода условно-оптимальных планов - алгоритм дифференциальных рент, при котором переносы поставок по связям не делаются, а вместо этого на каждом цикле расчета все поставки распределяются заново по допустимым клеткам (с наименьшими по столбцу стоимостями, учитывая ранее выполненные изменения стоимости).
Для решения сетевых транспортных задач широко применяется метод потенциалов, который основан на свойстве потенциальности оптимального плана.
Пусть имеется некоторая схема потоков однородного ресурса (груза, порожних вагонов) по транспортной сети с ограниченной пропускной способностью звеньев. Пропускную способность звена r-s в направлении к s обозначим drs. Все звенья в зависимости от наличия потока х^ данного груза делятся на три категории:
базисные с потоками
пустые без потока данного груза xrs=0;
насыщенные xrs=drs.
Рассматривается однопродуктовая задача.
В многопродуктовой задаче насыщенными являются звенья с суммой потоков всех грузов, равной пропускной способности.
Если схема потоков оптимальна, всем вершинам сети могут быть присвоены потенциалы U, удовлетворяющие следующим условиям:
для базисных звеньев Us - Ur = Crs, (17.7)
где Crs - расстояние или издержки (в зависимости от используемого критерия) перевозки единицы груза от r до s;
для пустых звеньев Us - Ur для насыщенных звеньев Us - Ur > Crs.
Равенство Us - Ur = Crs во всех случаях допустимо и не противоречит оптимальности схемы. Нарушение условий (17.7) и (17.8), т.е. Us - Ur> Crs для пустого звена и Us - UrПри решении сетевой задачи вначале разрабатывается исходная схема потоков. Затем ведется циклический расчет по улучшению плана. Каждый цикл включает в себя присвоение потенциалов вершинам, проверку условий (17.7) и (17.8) и замещение схемы потоков.
1. Построение начального плана.
Начальная схема потоков должна удовлетворять следующим требованиям:
а) соблюдение условия баланса для всех вершин сети:
Z Xks -Z Xrk = Rk ;
(сдача) (прием) +погрузка выгрузка
б) непревышение пропускной способности звеньев, поток Xrs в) отсутствие замкнутых контуров, образованных базисными звеньями с потоками 0 Желательно построить начальную схему без явных нерациональностей (встречностей, кружностей), что позволит сократить число вводимых впоследствии поправок.
2. Присвоение потенциалов всем вершинам сети.
Какой-либо вершине, к которой примыкает хотя бы одно базисное звено, присваивается произвольный потенциал (число одного порядка с наибольшей дальностью перевозок). Затем присваиваются потенциалы остальным вершинам сети, следуя по всем базисным звеньям и используя равенство Us-Ur = Crs. При потоке от R^S вершине S присваивается потенциал Us=Ur+Crs (где Crs - длина звена). Если поток следует от S к R, то потенциал определяется по следующей формуле: Us=Ur - Crs.
Е -6
В этом случае имеющихся базисных звеньев недостаточно для присвоения потенциалов всем вершинам. Тогда вводятся n-1 нулевые потоки, связывающие между собой отдельные системы базисных звеньев. Звенья с нулевыми потоками считаются базисными и используются для присвоения потенциалов.
485
В процессе присвоения потенциалов может обнаружиться так называемый случай вырождения: совокупность (граф) базисных звеньев распадается на n несвязанных между собой систем. На рис. 17.10 показаны две такие системы: В-А-Г и Д-Б-Е.
В задаче с ограничениями пропускной способности компоненты базисного графа могут быть отделены друг от друга не только пустыми, но и насыщенными звеньями. Тогда вводятся условные нулевые резервы пропускной способности на некоторых насыщенных звеньях, которые далее считаются базисными.
3. Проверка соблюдения условий (17.7 и 17.8) на всех пустых и насыщенных звеньях сети.
280
200
+29
Если эти условия соблюдаются везде, то задача решена и план оптимален. При наличии нарушений-невязок Ну выбираем участок с наибольшей невязкой и переходим к пункту 4. На рис.17.11 показан начальный вариант плана сетевой транспортной задачи с ограничениями пропускной способности звеньев. Вершинам сети присвоены потенциалы. Проверка нужна для пустых звеньев А-Е, Е-Д и насыщенного звена Г-Д. Остальные звенья - базисные. Длины звеньев в направлении «туда» и «обратно» совпадают.
Условие 17.7 нарушено на звене А-Е: Ve - Ua = 440 - 220 = 220 > Cae = 200; Нае = 220 - 200 = 20. Условие (17.8) нарушено на звене Г-Д: Ud - Ur = 330 - 280 = 50 4. Поиск пути по базисным звеньям между вершинами-концами звена с невязкой.
Совокупность этого пути и звена с невязкой называется контуром. Для начального варианта на рисунке 17.11 контур составляют звенья Г-Д, Д-Ж, Ж-Б и Б-Г. Для второго варианта (см. рис. 17.12) в контур входят звенья А-Е, Е-В, В-Ж, Ж-Д, Д-Г, Г-А, для третьего варианта (см. рис. 17.13) контур состоит из звеньев Б-Ж, Ж-Б, В-Е, Е-А, А-Г и Г-Б.
280
200
+29 240
280
200
Дальнейшее действие зависит от того, является ли звено с невязкой пустым или насыщенным.
Классификация потоков контура.
а) Устанавливается направление потока на звене с невязкой от меньшего потенциала к большему;
б) все другие потоки в контуре делятся на попутные и встречные этому потоку. Так, для начального варианта (рис. 17.11) звенья Г-Д и Б-Г - попутные, а
Д-Ж и Ж-Б - встречные, во втором варианте (рис. 17.12) звенья А-Е, В-Ж, Ж-Д - попутные, а Е-В, Д-Г и Г-А - встречные, в третьем варианте (рис. 17.13) Б-Ж, В-Е, А-Г - попутные, а ЖБ, БА, ГБ - встречные.
Определение изменения потоков АХ. Изменение потоков:
а) для пустого звена с невязкой:

АХ = min[ min X; min(d - x)], где d - пропускная способность звена.
Следовательно, поправка равна меньшей из двух величин: наименьшего встречного потока и наименьшего свободного остатка пропускной способности для попутных потоков;
б) для насыщенного звена с невязкой (в точности обратное правило):
> AX = min[ min X; min(d - x)], т.е. берутся наименьший попутный поток и наименьший из резервов пропускной способности для встречных потоков. При использовании правил (17.9) и (17.10) звено с невязкой учитывается в числе попутных. Для начального варианта величина изменения потоков АХ1 определится как минимальное из следующих величин:
AX1 = min[(20,8, (16 -11), (10 - 6)] = 4, так как звено с невязкой - пустое.
Для второго варианта величина изменения потоков АХ2 определится следующим образом:
AX2 = min[(15,16,22, 30, (16 -14), (16 -15)] = 1, так как звено с невязкой - насыщенное.
Для третьего варианта величина изменения потоков АХ3 определится так:
AX3 = min[(10,14,21, (16 -15), (30 -1)(30 - 4)] = 1, так как звено с невязкой - насыщенное.
7. Исправление плана.
а) при исправлении невязки на пустом звене потоки по всем попутным звеньям контура (включая звенья с невязкой) увеличиваются на АХ, а по встречным - уменьшаются на АХ;
б) при исправлении невязки на насыщенном звене, наоборот, потоки на всех попутных звеньях контура уменьшаются, а на встречных увеличиваются на АХ.
В расчете получается новый вариант плана, для которого заново определяются потенциалы, проверяется наличие невязок и т.д. (т.е. от пункта 7 переходим к пункту 2). Расчет заканчивается, когда в пункте 3 не будет обнаружено ни одной невязки, что и происходит в 4-м варианте решения, которое является оптимальным и показано на рис. 17.14.
200
Решение сетевой транспортной задачи непосредственно не содержит значений поставок по корреспонденциям, а дает лишь схему потоков по участкам. Поставки по корреспонденциям должны быть получены исходя из этой схемы, причем одной и той же оптимальной схеме потоков часто соответствует много вариантов поставок, равноценных по значению критерия оптимальности.
Такие равноценные оптимальные варианты называются альтернативными оптимумами. Например, в варианте на рис. 17.13 груз, прибывший от Б к Г, может быть выгружен в Г или направлен далее к Д в составе потока 15 единиц по участку Г-Д. При наличии альтернативных оптимумов из них можно выбрать более удобный или выгодный по соображениям, не учтенным в критерии оптимальности. Простота и наглядность нахождения большого числа альтернативных оптимумов является одним из преимуществ сетевой постановки транспортной задачи.

Транспортная задача

Постановка транспортной задачи

Транспортная задача (Т-задача) является одной из наиболее распространенных специальных задач ЛП. Первая строгая постановка Т-задачи принадлежит Ф. Хичкоку, поэтому в зарубежной литературе ее часто называют проблемой Хичкока.

Первый точный метод решения Т-задачи разработан Л. В. Канторовичем и М. К. Гавуриным.

Общая постановка транспортной задачи состоит в определении оптимального плана перевозок некоторого однородного груза из m пунктов отправления (заводы, склады, базы и т.д.) в n пунктов назначения (магазины). При этом, из каждого пункта отправления (производства) возможно транспортировка продукта в любой пункт назначения (потребления). В качестве критерия оптимальности обычно берется либо минимальная стоимость перевозок всего груза, либо минимальное время его доставки.

Выбор критерия оптимальности

4) Сроки доставки грузов (критерий - затраты времени).

где - эксплутационные издержки,

Расчетный коэффициент эффективности капиталовложения,

Капитальные вложения, приходящие на 1 т груза на протяжении участка,

Т - время следования,

Ц - цена одной тоны груза.

при условиях

(2)

(3)

(4)

то модель такой транспортной задачи называется закрытой или сбалансированной .

В первом случае полное удовлетворение спроса невозможно .

Тогда требуется минимизировать

при условиях

Рассмотрим теперь второй случай .

Тогда соответствующая Т-задача запишется так:

Минимизировать

при условиях:

· из запаса соответствующего пункта отправки;

· из потребности соответствующего пункта назначения.

Пример.

Четыре предприятия данного экономического района для производства продукции используют три вида сырья. Потребности в сырье каждого из предприятий соответственно равны 120, 50, 190 и 110 ед. Сырье сосредоточено в трех местах его получения, а запасы соответственно равны 160, 140, 170 ед. На каждое из предприятий сырье может завозиться из любого пункта его получения. Тарифы перевозок являются известными величинами и задаются матрицей

Составить такой план перевозок, при котором общая стоимость перевозок является минимальной.

Решение. Обозначим через количество единиц сырья, перевозимого из i–го пункта его получения на j–е предприятие. Тогда условия доставки и вывоза необходимого и имеющегося сырья обеспечиваются за счет выполнения следующих равенств:

(6)

При данном плане перевозок общая стоимость перевозок составит

Таким образом, математическая постановка данной транспортной задачи состоит в нахождении такого неотрицательного решения системы линейных уравнений (6), при котором целевая функция (7) принимает минимальное значение.